拉格朗日（Lagrangian）描述

拉格朗日框架跟踪每一个确定的流体质点（标记为 a）随时间运动的完整历史。质点 a 在初始时刻的位置记为 ，当前时刻的位置为 。

核心思想：
“给每个流体微团贴上永久标签，跟着它一起走，记录它经历的所有变化”。

运动学关系：

关键优势：随同质点运动的时间导数就是普通的偏导数，无需对流项：

典型控制方程：

1. 质量守恒（天然满足，或写成密度随物质导数变化）

2. 动量方程（直接用物质加速度）

3. 能量方程（内能或温度形式）

这些形式在光滑粒子流体动力学（SPH）、移动粒子半隐式法（MPS）、物质点法（MPM）等无网格拉格朗日方法中直接使用。

小结

• 欧拉框架：固定空间网格，方程含有显式对流项 → 适合固定边界问题，是传统 CFD 主流。
• 拉格朗日框架：随流体运动，时间导数无对流项 → 天然适应大变形、自由表面、多相界面追踪问题，是粒子类方法的理论基础。